FK estandar
Los estados fundamentales con un winding-number irracional (inconmensurados) son los límites de la secuencia de estados fundamentales conmensurados cuyos winding-number tienden al irracional.
Por ejemplo:
(Gp:) Es el límite de:
(Gp:) Números de Fibonacci
(Leonardo Pisano siglo XII)
FK estandar
La transición a la que se rompen los distintos toros de KAM, es decir, al valor de K al que el estado fundamental con un winding-number irracional presenta gaps, se le llama “Transición de Aubry” o de ruptura de analiticidad (TBA). Aunque en general se reserva este nombre a la transición asociada al w más irracional (la media áurea)
media áurea
FK estandar
La TBA (para la media áurea) se puede estudiar como una verdadera transición de fase, con sus correspondientes exponentes críticos para varias magnitudes críticas.
Longitud de coherencia:
Energía de la barrera PN:
Fuerza de desanclaje:
Gap de fonones:
Anchura del mayor gap:
Y algunas más: viscosidad efectiva, constante elástica, …
FK estandar
¿ Y las MEC no recurrentes ? (solitones discretos)
Estado fundamental para un w dado.
Estado fundamental para un w dado “desplazado”.
Solitón discreto
(Gp:) 1
(Gp:) 4
(Gp:) 7
(Gp:) 10
(Gp:) 13
(Gp:) …
(Gp:) 27
(Gp:) 30
(Gp:) …
(Gp:) …
(Gp:) 28
(Gp:) 31
FK estandar
Esquema de la órbita en el map estandar correspondiente a un solitón
(Gp:) “centro” del solitón
FK estandar
En este sentido, los solitones discretos son discommensuraciones elementales, paredes de dominio, o defectos en una estructura regular. Por ello se utilizó el modelo FK como arquetipo para el estudio de defectos cristalinos.
Pero su aplicabilidad se ha extendido a muchos otros campos y también se utiliza como modelo de estudio puramente nolineal.
FK no-estandar
Dentro de las múltiples variantes tanto de V, como de W o dimensionales, se han obtenido resultados diversos e incluso algunos analíticos. Aquí no vamos a repasarlos por ir más allá de nuestro objetivo, sino que vamos a estudiar la dinámica de este modelo.
Dinámica del modelo FK
Las ecuaciones del movimiento son:
A las que les podemos añadir otros términos:
Con estos términos el sistema dejará de ser hamiltoniano y pasará a ser un sistema disipativo.
Dentro de los múltiples resultados distintos que se pueden obtener, vamos a centrarnos en unos pocos:
Desanclaje (“depinning”)
Movimiento de solitones
Otras estructuras coherentes. BREATHERS
Dinámica del modelo FK
Desanclaje
Tanto las MEC recurrentes:
conmensuradas o
inconmensuradas por encima de Kc,
como las no-recurrentes (solitones), están “ancladas” por una barrera que les impide moverse. Es la llamada barrera de Peierls-Nabarro
Llamaremos “Fuerza de depinning” a aquella FDC homogénea que es necesario aplicarle a la cadena para tener velocidades promedio distintas de cero. Es decir, aquella que nos permite sobrepasar esa barrera.
Dinámica del modelo FK
Desanclaje (esquemático)
(Gp:) conmensurada
El solitón se desancla antes (a una Fth menor) que la estructura periódica subyacente.
La simetría del FK estándar permite desanclar de igual manera en un sentido que en otro.
(Gp:) inconmensurada
(Gp:) K aumenta
(Gp:) Para las estructuras “pinneadas”
Dinámica del modelo FK
Movimiento del solitón bajo Fuerzas “ac” con amortiguación
(Gp:) Fuerza homogénea de promedio temporal nulo
(Gp:) ¿Qué podemos esperar?
(Gp:) cuasi-partícula (solitón)
(Gp:) Potencial de anclaje (PN)
(Gp:) Fac
Con las condiciones adecuadas para que haya un solitón.
Dinámica del modelo FK
Mode-locking
difusivo
intermitente
Dinámica del modelo FK
(Gp:) Además, los valores para los que se puede mover el solitón con mode-locking, suceden a valores menores que la Fth del mismo.
(Gp:) ¡
(Gp:) !
Pero, ¿es extraño este comportamiento?
NO. A un péndulo (nolineal) le pasa lo mismo
hamiltoniano
amortiguado
Dinámica del modelo FK
Fac
Forzado y amortiguado
Pueden existir órbitas rotantes peródicas y estables
El forzamiento compensa al amortiguamiento
Dinámica del modelo FK
(Gp:) Solitón en el FK forzado y amortiguado
(Gp:) Péndulo nolineal forzado y amortiguado
(Gp:) Mutatis mutandi
(Gp:) Método de Coordenadas Colectivas
Órbitas periódicas oscilantes
órbitas periódicas rotantes
bifurcaciones
Caos (localizado)
histéresis
…
Dinámica del modelo FK
Método de Coordenadas Colectivas
Solitón
Péndulo efectivo
Dinámica del modelo FK
Pero en el fondo el modelo FK estándar puede entenderse como un “lattice model” creado a partir de péndulos acoplados.
Cadena de péndulos acoplados con condiciones de contorno periódicas y con un solitón.
Pero podemos utilizar esta identificación entre el FK y la cadena de péndulos para crear un nuevo tipo de solución
Dinámica del modelo FK
Breathers:
Supongamos una variación “superflua” del modelo FK.
Mide la intensidad del acoplamiento
Es “superflua” porque un re-escalado nos devuelve a la primera. Sin embargo es útil para estudiar el “límite anti-continuo” o “anti-integrable” o “ultra-discreto”.
Dinámica del modelo FK
Breathers:
Consideremos el límite:
Tenemos una cadena de péndulos desacoplados. Si ahora suponemos los términos adicionales de forzamiento y amortiguación, cada uno de esos péndulos responde a la ecuación:
Que es la ecuación de un péndulo con amortiguación, linealmente proporcional a la velocidad, y forzado con una fuerza alterna de frecuencia w.
Dinámica del modelo FK
Breathers:
Pero hemos visto que el péndulo en algunos valores de parámetros presenta histéresis, o lo que es lo mismo coexistencia de distintos atractores.
Dos atractores distintos
¿Qué ocurrirá si formamos una cadena de péndulos (en principio desacoplados) y ponemos a todos en un atractor menos 1 que lo situamos en otro atractor distinto y después los “empezamos” a acoplar?.
Dinámica del modelo FK
Breathers:
Si llamamos An a la amplitud de oscilación del oscilador n-ésimo
En general, en los sistemas nolineales, este tipo de estado localizado persiste “fuera” del límite anti-integrable (ultradiscreto) hasta un valor no despreciable del acoplamiento. Pero se puede destruir puesto que no es una estructura topológica como el solitón.
Dinámica del modelo FK
Breathers:
Incluso podemos seguir su evolución al variar el acoplamiento y observar distintas bifurcaciones de ruptura y posterior recuperación de simetría
Dinámica del modelo FK
Breathers:
La elección de los estados iniciales de los osciladores debe realizarse con precaución, atendiendo a las posibilidades del sistema acoplado.
Por ejemplo: En un FK estandar no podríamos elegir un estado rotante como centro del breather, puesto que al acoplar y debido al carácter parabólico del potencial del interacción, la persistencia del estado localizado supondría un crecimiento indefinido de dicha energía.
Incluso podríamos elegir un atractor caótico y otro que no lo fuera.
Chaobreather
Localización intrínseca de la respuesta caótica de un sistema para cierto rango de parámetros y de condiciones iniciales.
Breathers:
Escalera de uniones Josephson
En el modelo RCSJ:
Breathers en la ladder:
“Oscillo-breather”
 Página anterior | Volver al principio del trabajo | Página siguiente  |